当前位置: 首页 > >

条件概率与事件的独立性

发布时间:

1.条件概率与事件的独立性

(1)一般地,设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=

P?AB? P?A?

为在

事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.一般

把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率

(2)条件概率的性质

①条件概率具有概率的性质,任何事件的条件概率都在0 和1之间,即 0≤P(B|A)≤1 ;②如果B和C是两个互斥事件, 则 P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).

(3)设A、B为两个事件,如果 P(AB)=P(A)P(B) , 则 称

事件A与事件B 相互独立



2.独立重复试验

一般地,在 独立重复试验.

相同条件 下重复做的n次试验称为n次

3.二项分布
一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X, 在每次试验中事件A发生的概率为P,那么在n次独立重复试验 中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)= CnkPk(1-P)n-k , k=0,1,2,…,n.此时称随机变量X 服从二项分布 , 记 作
X~B(n,P) ,并称P为成功概率.

1.(2009·上海)若事件E与F相互独立,且P(E)=P(F)=

14,则P(E∩F)的值等于( )

A.0

1 B.16

1 C.4 [解析]

1 D.2 P(E∩F)=P(E)·P(F)=14×14=116.

[答案] B

2.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采用随 机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先 由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命 中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三 次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

科目一考试 km1.jsyst 驾驶员理论考试 科目二考试 km2.jsyst 场地考试 科目三考试 km3.jsyst 实际道路考试 科目四考试 km4.jsyst 安全文明驾驶常识考试 2019年驾驶员试题网学车试题大全

据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )

A.0.35

B.0.25

C.0.20

D.0.15

[解析]

由随机数可估算出每次投篮命中的概率p≈

24 60

=25,则三次投篮中两次为C32×P2×(1-P)≈0.25.

[答案] B

3.(2009·湖北)甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能 达 标 的 概 率 分 别 是 0.8 、 0.6 、 0.5 , 则 三 人 都 达 标 的 概 率 是 ________,三人中至少有一人达标的概率是________.
[解析] 三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24,三人中至少有 一人达标为1-0.24=0.76.
[答案] 0.24 0.76

有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8, 在这批种子中,随机抽取一粒,求这粒种子能成长为幼苗的概 率.
[解] 设种子发芽为事件A,种子成长为幼苗为事件AB(发 芽,又成活为幼苗),出芽后的幼苗成活率为:P(B|A)=0.8, P(A)=0.9.
根据条件概率公式P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.9×0.8=0.72 ∴这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.

(2009·全国Ⅰ)甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定 先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束.假设在一局中,甲 获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独 立.已知前2局中,甲、乙各胜1局.
(1)求再赛2局结束这次比赛的概率; (2)求甲获得这次比赛胜利的概率.

[解] 本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立 事件同时发生的概率,综合题.
记“第i局甲获胜”为事件Ai(i=3,4,5),“第j局甲获胜”为 事件Bi(j=3,4,5).
(1)设“再赛2局结束这次比赛”为事件A,则
A=A3·A4+B3·B4,由于各局比赛结果相互独立,故 P(A)=P(A3·A4+B3·B4)=P(A3·A4)+P(B3·B4)=P(A3)P(A4)+ P(B3)P(B4)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52.

(2)记“甲获得这次比赛胜利”为事件B,因前两局中,甲、 乙各胜1局,故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中, 甲先胜2局,从而B=A3·A4+B3·A4·A5+A3·B4·A5,由于各局比赛 结果相互独立,故
P(B)=P(A3·A4+B3·A4·A5+A3·B4·A5) =P(A3·A4)+P(B3·A4·A5)+P(A3·B4·A5) =P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5) =0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648.

[点评与警示] 求相互独立事件同时发生的概率的方法主 要有:①利用相互独立事件的概率乘法公式;②正面计算较繁 或难以入手时,可以从对立事件入手计算.审题时应注意“至 少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰好有一个发生” 等关键的词句.

甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次 比赛的胜利,比赛结束,假设在一局中,甲获胜的概率为0.6, 乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立,已知前2局中, 甲、乙各胜1局.设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数, 求ξ得分布列及数学期望.

[解] ξ的可能取值为2.3, 由于各局比赛结果相互独立,所以 P(ξ=2)=P(A3·A4+B3·B4) =P(A3·A4)+P(B3·B4) =P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4) =0.6×0.6+0.4×0.4=0.52. P(ξ=3)=1-P(ξ=2)=1-0.52=0.48

ξ的分布列

ξ

2

3

P

0.52

0.48

Eξ=2×P(ξ=2)+3×(ξ=3) =2×0.52+3×0.48=2.48.

(2009·北京)某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在 各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是13, 遇到红灯时停留的时间都是 2min.
(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的 概率;
(2)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min的概率.

[解] (1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇 到红灯为事件A,因为事件A等于事件“这名学生在第一和 第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所 以事件A的概率为P(A)=???1-13???×???1-13???×13=247.
(2)设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至 多是4min为事件B,这名学生在上学路上遇到k次红灯的事 件Bk(k=0,1,2).

则由题意,得P(B0)=???23???4=1861, P(B1)=C41???13???1???23???3=3821,P(B2)=C42???13???2???23???2=2841. 由于事件B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次 红灯”, ∴事件B的概率为P(B)=P(B0)+P(B1)+P(B2)=89.

[点评与警示] 1.独立重复试验,是在同样的条件下重复地、 各次之间相互独立地进行的一种试验,在这种试验中,每一次 试验只有两种结果,即某事件要么发生,要么不发生,并且任 何一次试验中发生的概率都是一样的;
2.在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每 次试验中事件A发生的概率为P,那么n次独立重复试验中,事 件 A 恰 好 发 生 k 次 的 概 率 为 P(X = k) = CnkPk(1 - P)n - k , k = 0,1,2,…,n.此时称随机变量X服从二项分布.利用该公式时, 一定要审清是多少次试验中发生k次的事件.

某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到 红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是13,遇到红灯时停留的 时间都是 2min.求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ξ 的分布列及期望.
[解] 由题意,可得 ξ 可能取的值为 0,2,4,6,8(单位:min). 事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到 k 次红 灯”(k=0,1,2,3,4),

∴P(ξ=2k)=Ck4???13???k???23???4-k(k=0,1,2,3,4), ∴即ξ的分布列是

ξ0

2

4

6

8

P

16 81

32 81

8 27

8 81

1 81

∴ξ的期望是Eξ=0×

16 81

+2×

32 81

+4×

8 27

+6×

8 81



8×811=83.

(2019·全国Ⅱ)购买某种保险,每个投保人每年度向 保险公司交纳保费a元,若投保人在购买保险的一年度内出险, 则可以获得10 000元的赔偿金.假定在一年度内有10 000人购买 了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在 一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1-0.999104.
(1)求一投保人在一年度内出险的概率p; (2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元,为保证盈利的期望不小于0,求每位投保人应交纳的最 低保费(单位:元).

[解] 各投保人是否出险互相独立,且出险的概率都是 p,记投保的10 000人中出险的人数为ξ,则ξ-B(104,p).
(1)记A表示事件:保险公司为该险种至少支付10 000元 赔偿金,则 A 发生当且仅当ξ=0,
P(A)=1-P( A ) =1-P(ξ=0) =1-(1-p)104, 又P(A)=1-0.9999104, 故p=0.001.

(2)该险种总收入为10 000a元,支出是赔偿金总额与成本的 和.
支出 10 000ξ+50 000, 盈利 η=10 000a-(10 000ξ+50 000), 盈利的期望为 Eη=10 000a-10 000Eξ-50 000, 由ξ~B(104,10-3)知,Eξ=10 000×10-3, Eη=104a-104Eξ-5×104 =104a-104×104×10-3-5×104. Eη≥0?104a-104×10-5×104≥0 ?a-10-5≥0 ?a≥15(元). 故每位投保人应交纳的最低保费为15元.

[点评与警示] 明确题设含义,弄清某一时刻正在工作的 机床台数服从二项分布,从而将问题转化为二项分布模型求解 是解题的关键.

1.古典概型中,A发生的条件下B发生的条件概率公式 为

P(B|A)=

P?AB? P?A?



n?AB? n?A?

,其中,在实际应用中P(B|A)=

nn??AAB??是一种重要的求条件概率的方法;

2.运用公式P(AB)=P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条 件,只有当事件A、B相互独立时,公式才成立;

3.解题过程中,要明确事件中的“至少一个发生”、“至 多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都不发 生”、“不都发生”等词语的意义,已知两个条件 A、B,它们 的概率分别为 P(A)、P(B),那么:
A、B 中至少有一个发生的事件为 A+B; A、B 都发生的事件为 AB; A.、.B.都不发生的事件为 A B ; A.、.B.恰有一个发生的事件为 A B + A B A、B 中至多有一个发生的事件为 A B + A B+ AB . 它们之间的概率关系如下表所示




友情链接: